2、已知函数f(x)=x/(x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.-学生作业帮-兵器谱
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2、已知函数f(x)=x/(x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 时间:2019/05/22 10:53:33

2、已知函数f(x)=x/(x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.

令x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
通分,分母(x1^2+1)(x2^2+1)>0
分子=x1x2^2+x1-x1^2x2-x2
=x1x2(x2-x1)-(x2-x1)
=(x2-x1)(x1x2-1)
x1>x2,x2-x1<0
所以看x1x2-1的符号
若-1若x<-1或x>1,则x1x2>1,x1x2-1>0,分子小于0,是减函数
所以
增区间(-1,1)
减区间(-∞,-1)和(1,+∞)

f(x)=负2分之1乘以x的平方+13分之1
当x=0时,此函数的最大值是1/13,当x<=0单调递增,相反递减。
(1)如果a<=0<=b,最大值2b=1/13,即b=1/26
此时最小值要么在x=a,要么在x=b
当x=a时是最小值,f(x)=-x^2/2+1/13=-a^2/2+1/13=2a
用求根公式可以得出两个根,这时候取负根,a=-2-根号下(...

全部展开

f(x)=负2分之1乘以x的平方+13分之1
当x=0时,此函数的最大值是1/13,当x<=0单调递增,相反递减。
(1)如果a<=0<=b,最大值2b=1/13,即b=1/26
此时最小值要么在x=a,要么在x=b
当x=a时是最小值,f(x)=-x^2/2+1/13=-a^2/2+1/13=2a
用求根公式可以得出两个根,这时候取负根,a=-2-根号下(4+2/13)
当x=b时是最小值,可以得出a>0,不符合前提。
即此种情况下的解为:a=-2-根号下(4+2/13),b=1/26
(2)如果a<=b<=0时候,最大值是f(b)=2b,最小值是f(a)=2a
和上面一样,很容易可以解出方程
此种情况下的解是a=b=-2-根号下(4+2/13)
(3)如果0<=a<=b时候,最大值是f(b)=2a,最小值是f(a)=2b
将两个方程相减可以得出a+b=4
将两个方程相加可以得出2(a+b)=-a^2/2+1/13+(-b^2/2+1/13)<=1/13+1/13
所以此种情况下无解。

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