设A,B是n阶实矩阵,且R(A+B)=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.-学生作业帮-兵器谱
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设A,B是n阶实矩阵,且R(A+B)=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 时间:2019/04/26 16:05:09

设A,B是n阶实矩阵,且R(A+B)=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.

对任意非零X,由于 r(A+B) = n,所以 (A+B)X ≠ 0
所以 AX+BX ≠ 0.所以 AX,BX 不同时为零.
又 X'(A'A+B'B)X = X'A'AX + XB'BX
= (AX)'(AX) + (BX)'(BX)
> 0.(这是由于 AX,BX 不同时为零)
所以A'A+B'B是正定矩阵 .

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