兵器谱——汇集古今中外经典兵器
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【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b其中√(ab)表示根号下ab.题目提示用分

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 时间:2019/02/20 13:19:17
【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a<(a+b)/2—√(ab)<(a-b)²/8b已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a<(a+b)/2—√(ab)<

【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b其中√(ab)表示根号下ab.题目提示用分
【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b
已知a>b>0,
求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b
其中√(ab)表示根号下ab.
题目提示用分析法.
请说明步骤,谢谢!

【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b其中√(ab)表示根号下ab.题目提示用分
因为a>b>0
要证 (a-b)^2/8a<(a+b)/2-√ab<(a-b)^2/8b
即证 (a-b)^2/8a<(√a-√b)^2/2<(a-b)^2/8b
即证 b(a-b)^2<4ab(√a-√b)^2<a(a-b)^2
即证 b(√a+√b)^2<4ab<a(√a+√b)^2
即证 (√a+√b)^2/a<4<(√a+√b)^2/b
即证 (1+√(b/a)^2<4<(√(a/b)+1)^2
即证 1+√(b/a)<2<√(a/b)+1
即证 √(b/a)<1<√(a/b)
即证 b/a<1<a/b
因为a>b>0
显然上式成立
所以:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b

先证明(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab),
首先(a+b)/2— √(ab)=(√a-√b)²/2;
(a-b)²/8a=[(√a-√b)(√a+√b)]²/8a=(√a-√b)²(√a+√b)²/8a;
不等式两边 同时 除去(√a-√b)² [注意说明(√a-√b)²...

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先证明(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab),
首先(a+b)/2— √(ab)=(√a-√b)²/2;
(a-b)²/8a=[(√a-√b)(√a+√b)]²/8a=(√a-√b)²(√a+√b)²/8a;
不等式两边 同时 除去(√a-√b)² [注意说明(√a-√b)²>0];
等价于 (√a+√b)]²/8a< 1/2;
进而化简(平方运算,加减乘运算) 等价于 2√a√b+b< 3a;
事实上a>b, 2√a√b+b< 2√a√a+a=3a.得证。
证明(a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b的过程与上面处理一样,不在细说,
最后 等价于2√a√b+a >3b;同理有2√a√b+a>2√b√b+b=3b;
证毕

收起

(a-b)^2/8a<(a+b)/2-√ab<(a-b)^2/8b
得(a-b)^2/8a<(√a-√b)^2/2<(a-b)^2/8b
得b(a-b)^2<4ab(√a-√b)^2<a(a-b)^2
得b(√a+√b)^2<4ab<a(√a+√b)^2
得(√a+√b)^2/a<4<(√a+√b)^2/b
得(1+√(b/...

全部展开

(a-b)^2/8a<(a+b)/2-√ab<(a-b)^2/8b
得(a-b)^2/8a<(√a-√b)^2/2<(a-b)^2/8b
得b(a-b)^2<4ab(√a-√b)^2<a(a-b)^2
得b(√a+√b)^2<4ab<a(√a+√b)^2
得(√a+√b)^2/a<4<(√a+√b)^2/b
得(1+√(b/a)^2<4<(√(a/b)+1)^2
得1+√(b/a)<2<√(a/b)+1
得√(b/a)<1<√(a/b)
得 b/a<1<a/b
因为a>b>0
显然b/a<1<a/b成立
所以:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²/8b

收起

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